【共通接線】たったの2ステップ！解答の作り方まで紹介します。

小春

いわゆる共通接点ってやつね・・・。

今回は「共通接線問題」を解決するための、着眼点を解説するよ！

楓

解答

$f(x)=x^3+3,\ g(x)=x^3-1$とし、$y=f(x)の点\left(a,f(a)\right)$における接線を$l$、$y=g(x)の点\left(b,g(b)\right)$における接線を$m$とする。

$f’(x)=3x^2, \ g’(x)=3x^2$より、接線$l,m$の方程式は

これを展開すると、

2つの直線$l,m$は同じものを表しているため、

①より$a=\pm b$

$a=b$のとき②を満たさないので不適。よって$a=-b$。

$a=-b$のとき②より、

以上より、求める接線の方程式は

解答のポイント

似たような問題は、どのように解けばいいのでしょうか。

ここからは、問題を解く上での観点を紹介します。

解答の流れ

2つのグラフの共通接線は、それぞれの接点における接線が同じ直線を表すということを利用すれば、方程式を求めることができます。

そのため、解答の流れは

となっています。

前半の条件の設定方法

問題と直接関係あるわけではないですが、問題の前半では

と、自身の解答における設定を書いています。

この条件は、次のような観点で設置しています。

このような条件を解答の前半でしっかり書くためには、「どのような流れで解答すれば良いか」という計画性が必要になります。

そのため、最初の段階では綺麗に条件を設定できなくても構いません。

まとめ

小春

「等しい」という強力な条件に注目すればいいのね！

難易度はそれほど高くないので、2、3問解けばOKです。

楓

方程式を解くのに条件が足りない場合は、問題やその前の問題から条件を拾い忘れている可能性があるので、注意してください。

以上、「共通接線について」でした。

練習

$f(x)=x^3+ax,\ g(x)=x^2+bx+c$とし、$y=f(x)$の点$(1,1)$における接線を$l$、$y=g(x)$の点$(1,1)$における接線を$m$とする。

$f’(x)=3x^2+a, \ g’(x) = 2x+b$より、それぞれの点$(1,1)$における接線の方程式は、

2つの接線$l,m$が同じ直線を表すので、

を満たせば良い。

小春

あれ、これだけだと方程式を解くことができないね。

そういう時は、拾い損ねた条件がないか探すんだ！

楓

ここで、$y=f(x),\ y=g(x)$のどちらも点$(1,1)$を通ることから、$1=f(1),\ 1=g(1)$を満たす。

よって、

①、②より